Movimiento Browniano
Hasta ahora hemos visto a los fractales como
estructuras definidas de manera completamente determinística, utilizando
relativamente simples ecuaciones iterativas. Se tiende a pensar que utilizando
estas técnicas, podemos describir matemáticamente (y consecuentemente,
representar realísticamente) cualquier fenómeno natural.
Sin embargo, no importa la aparente complejidad ni la
cantidad de detalles aparentemente irregulares presentes en las curvas
fractales, nunca son exactamente iguales a los fenómenos naturales, que están
llenos de irregularidades aleatorias.
Tu cuerpo puede haber sido generado por los patrones
fractales definidos por tu estructura genética, pero la cicatriz de tu brazo
que tienes desde que te cortaste a los doce años es una salida completamente
aleatoria del patrón, que no puede ser cubierta por las expresiones
matemáticas.
La naturaleza está llena de estas salidas aleatorias
de la regularidad, y para representarlas adecuadamente necesitamos introducir
algunas aleatorizaciones en nuestras técnicas fractales.
Evolución histórica
La primera investigación detallada acerca de estas
aleatorizaciones en la naturaleza fue realizada por Robert Brown en 1828. Este
botánico inglés Robert Brown (1773-1858) observó que en una solución de agua el
polen de una cierta hierba realizaba un movimiento continuo, muy accidentado,
en zigzag.
Esto mismo lo podemos observar en las partículas que
flotan en el aire, o si vertemos algún tipo de polvo de color en un vaso con
agua: las partículas de polvo, si bien al cabo de un periodo de tiempo
considerablemente grande acabarán en el fondo del vaso, tienen un movimiento
completamente irregular y aleatorio, con movimientos hacia abajo, pero también
hacia arriba.
Figura 1. Trayectoria irregular que sigue una
partícula browniana.
En el mismo trabajo, Brown señalaba que otros
investigadores, antes que él, ya habían notado este movimiento. En particular,
menciona los trabajos de F. W. von Gleichen, realizados unos 60 años antes, y
de J. T. Needham. Sin embargo, Brown fue el primero que hizo una investigación
detallada del fenómeno.
Si bien inicialmente pensó que dicho movimiento se
debía a la posibilidad de que las partículas de polen pudieran tener vida,
repitió el experimento con polen de plantas muertas hacía cien años, obteniendo
los mismos resultados, al igual (y con gran sorpresa para él) que cuando
realizó de nuevo el experimento pero en este caso con pequeñas partículas de
minerales, llegando de este modo a la conclusión de que el movimiento no se
debía a que la partícula en cuestión tuviera vida.
De todo este trabajo, Brown sacó la conclusión de que
tal fenómeno es característico de cualquier tipo de suspensiones en el que las
partículas suspendidas tengan dimensiones muy pequeñas.
El trabajo de Brown atrajo mucho la atención de otros
científicos europeos, quienes lo criticaron duramente, pues en él se proponía
que el movimiento era autoanimado, sugiriendo todo tipo de explicaciones
físicas como, por ejemplo, diferencias de temperatura en el agua iluminada,
evaporación, corrientes de aire, flujo de calor, capilaridad, etcétera.
Sin embargo, el famoso físico inglés
Michael Faraday defendió las ideas de Brown, señalando que este movimiento no
se podía explicar por ninguna de las causas propuestas. A pesar de todo, tanto
Faraday como Brown admitieron, sin embargo, que no sabían cómo explicar este
fenómeno.
Hacía mediados del siglo XIX se habían formado muchas
hipótesis acerca de las causas del movimiento; sin embargo, con las
observaciones experimentales varias de las hipótesis fueron eliminadas. En
particular se pudo probar de manera contundente que este movimiento no se debía
a que hubiera diferencias de temperatura entre dos regiones del espacio. El
movimiento browniano se presenta también cuando la temperatura es la misma en
todos los puntos del fluido. Asimismo, se desechó la hipótesis de que el zigzag
se debía a fuerzas capilares, ya que también ocurría en recipientes muy grandes
en los cuales dichas fuerzas no se manifiestan.
En 1863 Wiener formuló varios argumentos para mostrar
que el movimiento browniano no podía atribuirse a causas externas, sino que
tenía que deberse a movimientos internos del fluido.
Otro científico interesado en el fenómeno fue el
francés Léon Gouy que hizo diversos experimentos de los que concluyó que la
vivacidad y agilidad mostrada por las partículas aumentaba a medida que el
tamaño de la partícula era menor; asimismo, esta vivacidad aumentaba a medida
que la viscosidad del líquido en que se metían las partículas disminuía. Gouy
también descartó la posibilidad de explicar este movimiento con base en
colisiones con los átomos del fluido.
En resumen, podemos decir que en los primeros años
del siglo XX la situación era la siguiente: por una parte, no se tenía una
explicación firme y clara de las causas del movimiento browniano; al contrario,
lo que se tenía era un panorama muy confuso y contradictorio.
En el año 1905 el famoso físico Albert Einstein
(1879-1955) publicó un célebre trabajo en el que propuso la explicación del
movimiento browniano. Es interesante notar que ese mismo año Einstein publicó
otros dos famosos trabajos: el del efecto fotoeléctrico (que le valdría el
premio Nobel de Física en 1923) y el de la teoría de la relatividad.
Para apreciar la contribución de Einstein hay que
mencionar que hasta ese momento todos los argumentos propuestos para el
movimiento browniano habían sido sólo cualitativos.
Es decir, no se había formulado ninguna teoría de la que se pudiera colegir
relación alguna que fuera susceptible de medirse experimentalmente. En su
trabajo, Einstein contrastó las predicciones de las leyes de la termodinámica
con las de la teoría cinética, que estaba basada en la suposición atómica. En
particular se interesó por las conclusiones que se obtendrían si el movimiento
browniano se tratara de explicar por medio de la hipótesis atómica.
Según había mostrado Maxwell, las partículas del fluido
no tenían todas la misma velocidad, sino que tenían muchas velocidades; es
decir, tenían una distribución de velocidades. Además, estas velocidades tienen
todas las posibles direcciones. En segundo lugar, el número de colisiones que
experimenta una partícula en un fluido es extraordinariamente grande. Entonces,
y a pesar de que en cada colisión con un átomo del fluido una partícula
suspendida en él cambia su velocidad en una cantidad extremadamente pequeña,
puesto que la partícula suspendida experimenta un número extraordinariamente
grande de colisiones, el efecto acumulado de todas las colisiones resulta ser
apreciable.
Está claro entonces que el resultado neto es que la
partícula suspendida experimenta un cambio finito de velocidad y que su dirección
también se altera. Estos cambios son impredecibles tanto en magnitud como en
dirección ya que dada la cantidad de colisiones, no es posible seguir el efecto
individual de cada una de ellas. Pero lo importante es que éstas ocurren
continuamente, por lo que la partícula suspendida cambiará su velocidad también
en forma continua, tanto en magnitud como en dirección. De este modo, la
partícula browniana realiza un movimiento fluctuante, azaroso, en zigzag.
Modelo matemático
Establecemos un modelo plano del movimiento de partículas
entre colisiones mediante dos hipótesis: describiendo el movimiento de una
partícula entre dos puntos en coordenadas polares (r, q), el radio del
desplazamiento es una variable aleatoria con distribución normal y el ángulo es
una variable aleatoria con distribución uniforme entre [0,2p].
La descripción podemos hacerla trazando las trayectorias o
relacionando las coordenadas de cada punto con el tiempo t, de manera que, para
un movimiento plano, obtendríamos una superficie. Y para un movimiento de las
partículas sobre R, tendríamos una curva (t, f(t)), es decir, una serie
temporal. Consideremos un modelo del movimiento de una partícula sobre una
recta con las siguientes condiciones:
1.-
La partícula parte del origen t=0;
2.-
En cada paso discreto de tiempo h, la partícula se desplaza aleatoriamente una
longitud L o -L, con probabilidad 0.5 en cada caso.
Representamos con X(t) la función aleatoria asociada
que mide la posición de la partícula en cada instante:
Cada 
es una variable
aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad:
independientemente
de las etapas previas.
Así,
X(t) es la suma de una sucesión de variables aleatorias independientes e
igualmente distribuidas:
Si
normalizamos tomando L=h1/2, ahora las
variables tales que = 1 o = -1, en cada caso con
p=1/2.
Teniendo
en cuenta el Teorema del Límite Central, para valores pequeños de h, X(t) es
aproximadamente normal con media 0 y varianza t:
Es
importante observar que la varianza resulta proporcional a t, tiempo
transcurrido desde el inicio del movimiento.
En
particular, 
para t y h fijos y n suficientemente grande, es
aproximadamente normal (0, h) y los incrementos 
y 
son variables
aleatorias independientes.
El
movimiento browniano se define como el proceso aleatorio límite que se
encuentra cuando n crece indefinidamente.
Simulación de un movimiento browniano.
En
forma axiomática, diremos que una función aleatoria B(t) es un movimiento
browniano si
(1).-
(con probabilidad 1);
(2).-
Los incrementos 
son gaussianos, con media nula y varianza h (proporcional al
tiempo transcurrido).
Se observa que 
resulta así N(0,t) para cada valor
de t y que los incrementos 
son estacionarios.
Aplicaciones a fractales
El movimiento browniano también tiene importantes aportaciones
al crecimiento fractal. Existe un proceso denominado DLA (Agregación
por difusión limitada), que permite reproducir el crecimiento de algunas
entidades vegetales como musgos, algas o líquenes y de procesos químicos como
electrolisis o cristalización de ciertos compuestos.
Este proceso de DLA es extremadamente simple y
consiste en liberar un número de partículas móviles dentro de un recinto
acotado donde previamente habremos fijado una o más partículas. Las partículas
liberadas permanecen en movimiento browniano hasta que alcanzan una celda
contigua a una partícula fija, en cuyo caso se fijan también y sirven a su vez
para poder capturar alguna de las partículas que continúan en movimiento. si se
modifica el movimiento browniano por otro que tenga preferencia por alguna
dirección, se puede conseguir que determinadas zonas del recinto estén más
pobladas y se crezca más deprisa, o bien modificando el número de las
partículas y la zona donde se sitúan o la forma del recipiente que las
contiene.
Ejemplo en el que se observa la variación de los
valores de la dimensión de masa y de la dimensión del contorno calculada por el
método del compás en los siguientes DLA.
Otra posibilidad de crecimiento DLA es el vertical.
Las partículas se lanzan desde lo alto y las partículas fijas se sitúan en el
fondo del recipiente. Se puede observar en la siguiente figura como cuando
una formación sobresale, las de sus lados dejan de crecer. Esto es debido a que
las más grandes absorben los recursos de las más pequeñas e impiden su
crecimiento, fenómeno que se da en la naturaleza cuando un árbol grande
impide que crezcan los que están a su alrededor quitándoles los recursos de
luz, agua...
Algoritmos de generacion
Algoritmo del punto medio
El algoritmo
del Punto Medio es un método recursivo que fue aplicado al movimiento browniano
normal en 1920 por N.Wiener. Es una extensión del método de Von Koch y
aparece en la mayoría de los ejemplos de fractales descritos por Mandelbrot.
Esta forma de computar gráficos ha sido ampliamente divulgada por Fournier,
Fussel,y Carpenter.
Se
considera la estimación aproximada a un simple movimiento browniano
fraccionario 
. Si por ejemplo 
, entonces los puntos para 
y 
son elegidos como muestras de una variable gaussiana
aleatoria con varianza 
. Se puede definir el
algoritmo del Punto Medio como:
Donde 
es
una variable gaussiana aleatoria con media cero y varianza 
que es
determinada por la condición de que los incrementos desde 
debe satisfacer la siguiente relación:
Este
algoritmo genera nuevos puntos entre dos puntos iniciales, estos nuevos puntos
los generará utilizando una variable aleatoria Gaussiana la cual será sumada al
punto medio de los puntos iniciales, en cada etapa del algoritmo se obtendrán
nuevos puntos, a partir de los cuales se puede aplicar de nuevo el algoritmo.
Si el
proceso es realizado en tiempos t, entre 0 y 1, entonces se deben inicializar y seleccionar 
como una muestra de variable aletoria de Gauss con media
cero y varianza .
va a ser la media de 
y más una variable aleatoria Gaussiana 
con media cero y varianza . Entonces
En la segunda etapa
Donde 
tiene como varianza
En la etapa n-ésima la medida de
la distancia ha decrecido a 
y
la variable aleatoria gaussiana 
es sumada
a los puntos medios de la etapa n-1 con varianza
Una
vez que un punto 
ha sido determinado, este valor permanece
inalterable en todas las etapas. Los incrementos producidos cumplen la
siguiente relación:
Los puntos
generados en diferentes etapas tienen propiedades estadísticas distintas a las de
sus puntos vecinos, este efecto se puede apreciar mejor cuando 
. Este efecto visible es
causado por la falta de estacionamiento en las aproximaciones matemáticas, es
particularmente visible en superficies
fractales.
Algoritmo de las adicciones
Es una mejora del algoritmo del Punto Medio, ya que
para la obtención de N puntos se necesitan N operaciones y soluciona el
problema de no ser estacionario. Para ello interpola los puntos medios en la
misma dirección, pero se sumará un desplazamiento 
con
una varianza apropiada a todos los puntos y no solo a los puntos medios como
ocurría en algoritmo del Punto Medio en el que una vez determinado el valor de
un punto, este permanece inalterable.
La
principal diferencia está en el número de elementos aleatorios. En cada una de
las etapas del algoritmo todos los puntos son de la misma forma, esto va a
tener la ventaja adicional de que la resolución en la próxima etapa puede
cambiar con un factor r<1, mientras que en el algoritmo del Punto Medio r
tenía que ser 
. De este modo, dado un ejemplo de 
puntos en la etapa n
con resolución l, en la etapa n+1 con resolución rl es
determinada interpolando los 
nuevos puntos a
partir de los antiguos puntos. En la práctica esto puede ser concluido
usando splines. Un elemento aleatorio es sumado a todos los
puntos nuevos. En la etapa n con un ratio r<1,
D tendrá
una varianza de:
La dimensión fractal para la generación de objetos es
determinada por 
, r puede variar
independientemente.
Algoritmo de interpolación
En los algoritmos que hemos
comentado la resolución en 
es mejorada por un factor 
en cada paso. Se va a poder
modificar el segundo método mencionado introduciendo otro factor 0<r<1.
Por esto, uno interpolaría X(t) en tiempos 
a los ejemplos en la etapa anterior. Por lo
que un elemento aleatorio sería sumado a todos los puntos interpolados, debe de tener una varianza proporcional a 
.
Cambiando el valor de r se cambia la
apariencia del fractal. El algoritmo lo hemos implementado usando una
interpolación lineal simple, pero pueden usarse otros tipos de interpolación.
Siguiendo la idea del algoritmo del Punto Medio,
fijamos , e igualamos a una variable Gaussiana aleatoria con
varianza .
Se puede deducir de la misma forma que antes que
Asumiendo
que tenemos y algunos 
hallados previamente donde 
. Entonces con 
es interpolada mediante
Entonces, todos los puntos , , 
, etc., son desplazados por
una variable aleatoria Gaussiana 
con varianza 
. Los antiguos valores y satisfacen la siguiente relación
se debe seleccionar la varianza tal que se mantenga la siguiente relación
por lo que se precisa
y de esta manera
