Movimiento Browniano

 

 

 

 

 

 

1. Introducción

2. Evolución histórica

3. Modelo matemático

4. Aplicaciones a fractales

5. Algoritmos de generación

 

 

 

 

Introducción

 

Hasta ahora hemos visto a los fractales como estructuras definidas de manera completamente determinística, utilizando relativamente simples ecuaciones iterativas. Se tiende a pensar que utilizando estas técnicas, podemos describir matemáticamente (y consecuentemente, representar realísticamente) cualquier fenómeno natural.

Sin embargo, no importa la aparente complejidad ni la cantidad de detalles aparentemente irregulares presentes en las curvas fractales, nunca son exactamente iguales a los fenómenos naturales, que están llenos de irregularidades aleatorias.

Tu cuerpo puede haber sido generado por los patrones fractales definidos por tu estructura genética, pero la cicatriz de tu brazo que tienes desde que te cortaste a los doce años es una salida completamente aleatoria del patrón, que no puede ser cubierta por las expresiones matemáticas.

La naturaleza está llena de estas salidas aleatorias de la regularidad, y para representarlas adecuadamente necesitamos introducir algunas aleatorizaciones en nuestras técnicas fractales. 

 

 

 

 

Evolución histórica

 

La primera investigación detallada acerca de estas aleatorizaciones en la naturaleza fue realizada por Robert Brown en 1828. Este botánico inglés Robert Brown (1773-1858) observó que en una solución de agua el polen de una cierta hierba realizaba un movimiento continuo, muy accidentado, en zigzag.

Esto mismo lo podemos observar en las partículas que flotan en el aire, o si vertemos algún tipo de polvo de color en un vaso con agua: las partículas de polvo, si bien al cabo de un periodo de tiempo considerablemente grande acabarán en el fondo del vaso, tienen un movimiento completamente irregular y aleatorio, con movimientos hacia abajo, pero también hacia arriba.

 

 

Figura 1. Trayectoria irregular que sigue una partícula browniana.



 

 

En el mismo trabajo, Brown señalaba que otros investigadores, antes que él, ya habían notado este movimiento. En particular, menciona los trabajos de F. W. von Gleichen, realizados unos 60 años antes, y de J. T. Needham. Sin embargo, Brown fue el primero que hizo una investigación detallada del fenómeno.

Si bien inicialmente pensó que dicho movimiento se debía a la posibilidad de que las partículas de polen pudieran tener vida, repitió el experimento con polen de plantas muertas hacía cien años, obteniendo los mismos resultados, al igual (y con gran sorpresa para él) que cuando realizó de nuevo el experimento pero en este caso con pequeñas partículas de minerales, llegando de este modo a la conclusión de que el movimiento no se debía a que la partícula en cuestión tuviera vida.

De todo este trabajo, Brown sacó la conclusión de que tal fenómeno es característico de cualquier tipo de suspensiones en el que las partículas suspendidas tengan dimensiones muy pequeñas.

 

El trabajo de Brown atrajo mucho la atención de otros científicos europeos, quienes lo criticaron duramente, pues en él se proponía que el movimiento era autoanimado, sugiriendo todo tipo de explicaciones físicas como, por ejemplo, diferencias de temperatura en el agua iluminada, evaporación, corrientes de aire, flujo de calor, capilaridad, etcétera. Sin  embargo, el famoso físico inglés Michael Faraday defendió las ideas de Brown, señalando que este movimiento no se podía explicar por ninguna de las causas propuestas. A pesar de todo, tanto Faraday como Brown admitieron, sin embargo, que no sabían cómo explicar este fenómeno.

 

Hacía mediados del siglo XIX se habían formado muchas hipótesis acerca de las causas del movimiento; sin embargo, con las observaciones experimentales varias de las hipótesis fueron eliminadas. En particular se pudo probar de manera contundente que este movimiento no se debía a que hubiera diferencias de temperatura entre dos regiones del espacio. El movimiento browniano se presenta también cuando la temperatura es la misma en todos los puntos del fluido. Asimismo, se desechó la hipótesis de que el zigzag se debía a fuerzas capilares, ya que también ocurría en recipientes muy grandes en los cuales dichas fuerzas no se manifiestan.

En 1863 Wiener formuló varios argumentos para mostrar que el movimiento browniano no podía atribuirse a causas externas, sino que tenía que deberse a movimientos internos del fluido.

Otro científico interesado en el fenómeno fue el francés Léon Gouy que hizo diversos experimentos de los que concluyó que la vivacidad y agilidad mostrada por las partículas aumentaba a medida que el tamaño de la partícula era menor; asimismo, esta vivacidad aumentaba a medida que la viscosidad del líquido en que se metían las partículas disminuía. Gouy también descartó la posibilidad de explicar este movimiento con base en colisiones con los átomos del fluido.

 

En resumen, podemos decir que en los primeros años del siglo XX la situación era la siguiente: por una parte, no se tenía una explicación firme y clara de las causas del movimiento browniano; al contrario, lo que se tenía era un panorama muy confuso y contradictorio.

 

En el año 1905 el famoso físico Albert Einstein (1879-1955) publicó un célebre trabajo en el que propuso la explicación del movimiento browniano. Es interesante notar que ese mismo año Einstein publicó otros dos famosos trabajos: el del efecto fotoeléctrico (que le valdría el premio Nobel de Física en 1923) y el de la teoría de la relatividad.

Para apreciar la contribución de Einstein hay que mencionar que hasta ese momento todos los argumentos propuestos para el movimiento browniano habían sido sólo cualitativos. Es decir, no se había formulado ninguna teoría de la que se pudiera colegir relación alguna que fuera susceptible de medirse experimentalmente. En su trabajo, Einstein contrastó las predicciones de las leyes de la termodinámica con las de la teoría cinética, que estaba basada en la suposición atómica. En particular se interesó por las conclusiones que se obtendrían si el movimiento browniano se tratara de explicar por medio de la hipótesis atómica.

 

Según había mostrado Maxwell, las partículas del fluido no tenían todas la misma velocidad, sino que tenían muchas velocidades; es decir, tenían una distribución de velocidades. Además, estas velocidades tienen todas las posibles direcciones. En segundo lugar, el número de colisiones que experimenta una partícula en un fluido es extraordinariamente grande. Entonces, y a pesar de que en cada colisión con un átomo del fluido una partícula suspendida en él cambia su velocidad en una cantidad extremadamente pequeña, puesto que la partícula suspendida experimenta un número extraordinariamente grande de colisiones, el efecto acumulado de todas las colisiones resulta ser apreciable.

 

Está claro entonces que el resultado neto es que la partícula suspendida experimenta un cambio finito de velocidad y que su dirección también se altera. Estos cambios son impredecibles tanto en magnitud como en dirección ya que dada la cantidad de colisiones, no es posible seguir el efecto individual de cada una de ellas. Pero lo importante es que éstas ocurren continuamente, por lo que la partícula suspendida cambiará su velocidad también en forma continua, tanto en magnitud como en dirección. De este modo, la partícula browniana realiza un movimiento fluctuante, azaroso, en zigzag.

 

 

 

 

Modelo matemático

Establecemos un modelo plano del movimiento de partículas entre colisiones mediante dos hipótesis: describiendo el movimiento de una partícula entre dos puntos en coordenadas polares (r, q), el radio del desplazamiento es una variable aleatoria con distribución normal y el ángulo es una variable aleatoria con distribución uniforme entre [0,2p].

La descripción podemos hacerla trazando las trayectorias o relacionando las coordenadas de cada punto con el tiempo t, de manera que, para un movimiento plano, obtendríamos una superficie. Y para un movimiento de las partículas sobre R, tendríamos una curva (t, f(t)), es decir, una serie temporal. Consideremos un modelo del movimiento de una partícula sobre una recta con las siguientes condiciones:

1.- La partícula parte del origen t=0;

2.- En cada paso discreto de tiempo h, la partícula se desplaza aleatoriamente una longitud L o -L, con probabilidad 0.5 en cada caso.

Representamos con X(t) la función aleatoria asociada que mide la posición de la partícula en cada instante:

 

Cada  es una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad:

independientemente de las etapas previas.

 

Así, X(t) es la suma de una sucesión de variables aleatorias independientes e igualmente distribuidas:

 

Si normalizamos tomando L=h1/2,  ahora las variables  tales que  = 1 o  = -1, en cada caso con p=1/2.

 

Teniendo en cuenta el Teorema del Límite Central, para valores pequeños de h, X(t) es aproximadamente normal con media 0 y varianza t:

 

Es importante observar que la varianza resulta proporcional a t, tiempo transcurrido desde el inicio del movimiento.

En particular, para t y h fijos y n suficientemente grande, es aproximadamente normal (0, h) y los incrementos  y  son variables aleatorias independientes.

 

El movimiento browniano se define como el proceso aleatorio límite que se encuentra cuando n crece indefinidamente.

 

Simulación de un movimiento browniano.

 

 

 

En forma axiomática, diremos que una función aleatoria B(t) es un movimiento browniano si

(1).-  (con probabilidad 1);

(2).- Los incrementos son gaussianos, con media nula y varianza h (proporcional al tiempo transcurrido).

Se observa que  resulta así N(0,t) para cada valor de t y que los incrementos  son estacionarios.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aplicaciones a fractales

El movimiento browniano también tiene importantes aportaciones al crecimiento fractal. Existe un proceso denominado DLA (Agregación por difusión limitada), que permite reproducir el crecimiento de algunas entidades vegetales como musgos, algas o líquenes y de procesos químicos como electrolisis o cristalización de ciertos compuestos.

Este proceso de DLA es extremadamente simple y consiste en liberar un número de partículas móviles dentro de un recinto acotado donde previamente habremos fijado una o más partículas. Las partículas liberadas permanecen en movimiento browniano hasta que alcanzan una celda contigua a una partícula fija, en cuyo caso se fijan también y sirven a su vez para poder capturar alguna de las partículas que continúan en movimiento. si se modifica el movimiento browniano por otro que tenga preferencia por alguna dirección, se puede conseguir que determinadas zonas del recinto estén más pobladas y se crezca más deprisa, o bien modificando el número de las partículas y la zona donde se sitúan o la forma del recipiente que las contiene.

 

Ejemplo en el que se observa la variación de los valores de la dimensión de masa y de la dimensión del contorno calculada por el método del compás en los siguientes DLA.

 

 

 

 

 

 

Otra posibilidad de crecimiento DLA es el vertical. Las partículas se lanzan desde lo alto y las partículas fijas se sitúan en el fondo del recipiente. Se puede observar en la siguiente figura como cuando una formación sobresale, las de sus lados dejan de crecer. Esto es debido a que las más grandes absorben los recursos de las más pequeñas e impiden su crecimiento, fenómeno  que se da en la naturaleza cuando un árbol grande impide que crezcan los que están a su alrededor quitándoles los recursos de luz, agua...

 

  

 

 

 

 

 

 

Algoritmos de generacion

            Algoritmo del punto medio

El algoritmo del Punto Medio es un método recursivo que fue aplicado al movimiento browniano normal en 1920 por N.Wiener. Es una extensión del método de Von Koch y aparece en la mayoría de los ejemplos de fractales descritos por Mandelbrot. Esta forma de computar gráficos ha sido ampliamente divulgada por Fournier, Fussel,y Carpenter.

Se considera la estimación aproximada a un simple movimiento browniano fraccionario . Si por ejemplo , entonces los puntos para  y  son elegidos como muestras de una variable gaussiana aleatoria con varianza . Se puede definir el algoritmo del Punto Medio como:

Donde  es una variable gaussiana aleatoria con media cero y varianza  que es determinada por la condición de que los incrementos desde 0 a debe satisfacer la siguiente relación:

 

Este algoritmo genera nuevos puntos entre dos puntos iniciales, estos nuevos puntos los generará utilizando una variable aleatoria Gaussiana la cual será sumada al punto medio de los puntos iniciales, en cada etapa del algoritmo se obtendrán nuevos puntos, a partir de los cuales se puede aplicar de nuevo el algoritmo.

  Si el proceso es realizado en tiempos t, entre 0 y 1, entonces se deben inicializar y seleccionar como una muestra de variable aletoria de Gauss con media cero y varianza .

va a ser la media de y más una variable aleatoria Gaussiana con media cero y varianza . Entonces

En la segunda etapa

Donde  tiene como varianza

En la etapa n-ésima la medida de la distancia ha decrecido a  y la variable aleatoria gaussiana  es sumada a los puntos medios de la etapa n-1 con varianza

 Una vez que un punto ha sido determinado, este valor permanece inalterable en todas las etapas. Los incrementos producidos cumplen la siguiente  relación:

Los puntos generados en diferentes etapas tienen propiedades estadísticas distintas a las de sus puntos vecinos, este efecto se puede apreciar mejor cuando . Este efecto visible es causado por la falta de estacionamiento en las aproximaciones matemáticas, es particularmente visible en superficies  fractales.

 

            Algoritmo de las adicciones

Es una mejora del algoritmo del Punto Medio, ya que para la obtención de N puntos se necesitan N operaciones y soluciona el problema de no ser estacionario. Para ello interpola los puntos medios en la misma dirección, pero se sumará un desplazamiento  con una varianza apropiada a todos los puntos y no solo a los puntos medios como ocurría en algoritmo del Punto Medio en el que una vez determinado el valor de un punto, este permanece inalterable.

La principal diferencia está en el número de elementos aleatorios. En cada una de las etapas del algoritmo todos los puntos son de la misma forma, esto va a tener la ventaja adicional de que la resolución en la próxima etapa puede cambiar con un factor r<1, mientras que en el algoritmo del Punto Medio r tenía que ser . De este modo, dado un ejemplo de   puntos en la etapa n con resolución l, en la etapa n+1 con resolución rl es determinada interpolando los  nuevos puntos a partir de  los antiguos puntos.  En la práctica esto puede ser concluido usando splines. Un elemento aleatorio  es sumado a todos los puntos nuevos. En la etapa n con un ratio r<1, D tendrá una varianza de:

La dimensión fractal para la generación de objetos es determinada por , r puede variar independientemente. 

 

 

Algoritmo de interpolación

En los algoritmos que hemos comentado la resolución en es mejorada por un factor en cada paso. Se va a poder modificar el segundo método mencionado introduciendo otro factor 0<r<1. Por esto, uno interpolaría X(t) en tiempos  a los ejemplos en la etapa anterior. Por lo que un elemento aleatorio  sería sumado a todos los puntos interpolados,  debe de tener una varianza proporcional a .

 Cambiando el valor de r se cambia la apariencia del fractal. El algoritmo lo hemos implementado usando una interpolación lineal simple, pero pueden usarse otros tipos de interpolación.

Siguiendo la idea del algoritmo del Punto Medio, fijamos , e igualamos  a una variable Gaussiana aleatoria con varianza .

 

Se puede deducir de la misma forma que antes que

Asumiendo que tenemos  y algunos  hallados previamente donde . Entonces  con  es interpolada mediante

Entonces, todos los puntos , , , etc., son desplazados por una variable aleatoria Gaussiana  con varianza . Los antiguos valores  y   satisfacen la siguiente relación

se debe seleccionar la varianza  tal que se mantenga la siguiente relación

por lo que se precisa

y de esta manera

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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